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Verwendung von Verkaufsdaten zur Ermittlung der Preiselastizität

  • Expert:innen Daniel Lüttgau
  • Datum 09. Juli 2018
  • Thema Data ScienceRStatistics & Methods
  • Format Blog
  • Kategorie Technology
Verwendung von Verkaufsdaten zur Ermittlung der Preiselastizität

Ein paar hundert Meter von unserem Büro entfernt gibt es ein kleines Mittagslokal. Es gehört zu einer kleinen Kette, die sich auf selbst zusammenstellbare, verzehrfertige Salate spezialisiert hat. Als wir vor ein paar Jahren in unser neues Büro zogen, wurde dieser Salatlieferant schnell zu einem festen Bestandteil unseres Alltags. Im Laufe der Zeit hat sich das jedoch geändert. Wir essen immer noch regelmäßig dort, aber ich bin mir sicher, wenn man sich den STATWORX-bezogenen Umsatz ansieht, würde der Trend das Management nicht erfreuen, und die Frage ist, warum?
Die Antwort hat viel mit dem Auftreten neuer Konkurrenten, verbesserten Kochkünsten, ausgeklügelten Werbeaktionen und sicherlich auch mit der Preisgestaltung zu tun. Letztere – die Preisgestaltung – wird im Mittelpunkt dieser Serie stehen.
Bei der Analyse von Fragen der Preisgestaltung ist es oft von wesentlichem Interesse, ein Maß dafür zu haben, wie sich eine Preisänderung auf die Nachfrage auswirkt. Das Maß, auf das sich Ökonomen im Allgemeinen einigen, um diese Beziehung zu beschreiben, ist die Preiselastizität der Nachfrage, \epsilon. Als relatives Maß ist es einheitsunabhängig, was es zu einem Gewinner macht. Die Elastizität ist definiert als die prozentuale Änderung der Menge geteilt durch die prozentuale Änderung des Preises:

    \[epsilon = frac{Delta qty/ qty}{Delta price/ price}\]

Konzeptionell werden üblicherweise drei Bedingungen unterschieden: Elastizitätswerte von <-1 weisen auf eine „elastische Nachfrage“ hin. Das heißt, wenn man den Preis um ein Prozent erhöht, sinkt die Nachfragemenge um mehr als ein Prozent. Die beiden anderen Bedingungen sind Nachfrageelastizitäten von >-1, in diesem Fall spricht man von „unelastischer Nachfrage“ und dem Fall, dass die Elastizität gleich -1 ist. Dies wird als „einheitselastische Nachfrage“ bezeichnet.

Es wäre sehr hilfreich, wenn wir die tatsächliche Preiselastizität der Nachfrage für unsere Salatbar ableiten könnten. Mit einem zuverlässigen Elastizitätswert in der Hand können wir Fragen beantworten wie: Wie viele Salate können wir bei einem bestimmten Preis voraussichtlich verkaufen? Wie wirkt sich eine Preisänderung von 10 % auf die Nachfrage aus? Mit diesem Wissen wäre es möglich, die Preisgestaltung als Instrument zu nutzen, um verschiedene KPIs für das Salatgeschäft zu erreichen. Letztendlich kann die Salatbar ihren Preis anpassen, um den Gewinn zu maximieren oder den Umsatz zu steigern – je nach ihren strategischen Zielen.

Die Feinheiten der Ableitung dieser Preiselastizitäten der Nachfrage mit Regressionen sind das Thema dieses kurzen Blogs. Die Situation unseres Salatanbieters ist ein anschauliches Beispiel dafür, wie wir die Preiselastizität berechnen können und wie sie zur Anpassung der eigenen Preisstrategie genutzt werden kann.

Einrichtung

Um es vorweg zu nehmen – obwohl dieser Salatverkäufer existiert und tatsächlich ein integraler Bestandteil der STATWORX-Nahrungskette ist, sind alle Daten, mit denen wir arbeiten, erfunden. Sie beschreiben, wie ich mir die Marktsituation dieses kleinen Salatanbieters vorstelle. Mit jedem neuen Beitrag, in dem wir komplexere Themen untersuchen, werden wir tiefer in die Welt der Salatverkäufer eintauchen.

Die Frage dieses Blogbeitrags ist einfach: Wie können wir mit Hilfe der linearen Regression Preiselastizitäten ableiten? Um dies zu untersuchen, benötigen wir Informationen über historische Preise und Verkäufe. Zu Beginn werden keine Konkurrenz, keine Alternativprodukte in den Geschäften, keine neuen Werbeaktionen, keine saisonalen Effekte oder ähnliches berücksichtigt.
Die täglichen Verkaufspreise der letzten zwei Jahre wurden für unsere kleine Salatbar simuliert, indem zufällig Preise zwischen 5,59 € und 9,99 € ausgewählt wurden – natürlich keine großartige Preisstrategie, aber für die Zwecke dieses Beitrags reicht sie aus. Zur Ableitung der Verkäufe wurde eine multiplikative Nachfragefunktion verwendet, der ein gewisser Zufallsfaktor hinzugefügt wurde. Und damit sind wir mit der Simulation der Daten fertig. Weitere Einzelheiten finden Sie im Code auf unserer Github-Seite.

Berechnung der Elastizität der Nachfrage

Wir wollen wissen, wie sich eine lineare Regressionsfunktion zur Elastizität verhält. Es stellt sich heraus, dass dies davon abhängt, wie die Variablen transformiert wurden. Es ist möglich, die Elastizität – ein Faktor der relativen Veränderung – in fast jeder Situation abzuleiten. Hier finden Sie die vier häufigsten Umformungen.

Transformation Function Elasticity
Level-Level Y = a+bX epsilon=b*frac{X}{Y}
Log-Level log(Y) = a+bX epsilon=b*X
Level-Log Y = a+b*log(X) epsilon=frac{b}{Y}
Log-Log log(Y) = a+b*log(X) epsilon=b

Abhängig von der Transformation der Variablen vor der Regression sind unterschiedliche Transformationen nach der Regression erforderlich, um die Elastizitätswerte zu ermitteln. Die obige Tabelle zeigt, dass die Elastizität im Falle eines log-log-Modells ein konstanter Wert über die gesamte Nachfragekurve ist, während sie in allen anderen Fällen vom spezifischen aktuellen Preis und/oder der Nachfrage abhängig ist. Dies bedeutet, dass die Wahl des Modells einen Hinweis auf die angenommene Nachfragekurve gibt. Eine falsche Wahl führt zu einem falsch spezifizierten Modell.

Das ist gut zu wissen, aber welches Modell sollte man verwenden? Um dies zu beurteilen, habe ich einfach jedes dieser vier Modelle durchgespielt. Die Ergebnisse finden Sie in der Tabelle unten, aber sie sind nichts, was man jemals in der realen Welt finden wird, da alle Effekte hoch signifikant sind und der R^2 für eine soziale oder wirtschaftliche Analyse lächerlich hoch ist. Dies ist beabsichtigt, da kaum Zufälligkeiten hinzugefügt wurden. Darüber hinaus waren die Daten so angelegt, dass das Log-Log-Modell prädestiniert war, das „Gewinnmodell“ zu erzeugen.

Model Intercept Price Variable varnothing Elasticity R^2
Level-Level 439.58 (3.2) -38.57 (0.42) -2.50 0.84
Log-Level 6.59 (0.01) -0.23 (0.01) -1.63 0.95
Level-Log 671.22 (3.53) -265.66 (1.83) -2.11 0.93
Log-Log 7.86 (0.01) -1.52 (0.01) -1.51 0.97

Das Argument ist nicht, dass ein Log-Log-Modell das beste Modell zur Ableitung von Elastizitäten ist. Allerdings gibt es starke mikroökonomische Argumente dafür, warum das Log-Log-Modell das sinnvollste Modell zur Beschreibung der Nachfrageelastizität ist. Die zugrunde liegende Nachfragekurve beschreibt die Nachfrage am ehesten so, wie Ökonomen sie vermuten. Sie stellt sicher, dass die Nachfrage nicht unter Null sinken kann, wenn der Preis steigt, und dass auf der anderen Seite die Nachfrage exponentiell wächst, wenn der Preis sinkt. Die Ableitbarkeit eines konstanten Elastizitätswertes ist jedoch, wie bereits erwähnt, ihre wünschenswerteste Eigenschaft. Diese Tatsache macht es viel einfacher, die Elastizität zur Optimierung der Preisgestaltung einzusetzen.

Dennoch kann die empirische Analyse uns dazu bringen, andere Preis-Nachfrage-Beziehungen anzunehmen. Die folgende Grafik zeigt dies auf anschauliche Weise. Die Legende der Grafik ordnet die Modelle in aufsteigender Reihenfolge ihrer Eignung. Bei der Betrachtung der einzelnen Diagramme wird deutlich, warum das Level-Log-Modell besser abschneidet als das Level-Level-Modell, und warum das Log-Level-Modell das Level-Log-Modell übertrifft und so weiter. Die nicht-lineare Beziehung zwischen Preis und Nachfrage, die wir durch die Verwendung einer multiplikativen Nachfragekurve eingeführt haben, wird am besten durch das Log-Log-Modell beschrieben. Hätte ich eine additive Nachfragekurve verwendet, wäre die Rangfolge andersherum gewesen. Das Argument lautet also, dass die Wahl des Modells unter bestimmten Umständen einen erheblichen Einfluss haben kann.

elasticity regression comp

Für die Anwendung in der Praxis müssen wir uns der funktionalen Form, die durch die von uns gewählte Regression angezeigt wird, sehr bewusst sein. Die Auswirkungen können schwerwiegende Folgen haben. Die Elastizität, mit der die Daten erzeugt wurden, betrug -1,5. Um zu veranschaulichen, wie sich die Wahl des Modells auf die geschätzte Elastizität auswirken kann, habe ich die durchschnittlichen Elastizitäten für Modelle auf Niveau-, Log-Level- und Level-Level-Niveau berechnet und sie mit dem Preiskoeffizienten des Log-Log-Modells verglichen. Dies ist zwar eine etwas zu starke Vereinfachung, aber der Punkt bleibt bestehen: Die Ergebnisse sind sehr unterschiedlich, was Konsequenzen hat, wenn man versucht, die abgeleiteten Elastizitäten zu nutzen. Auf der Grundlage der grafischen Analyse und der Modellinformationen würden wir jedoch zu dem Schluss kommen, dass das Log-Log-Modell am besten abschneidet, so dass wir so vorgehen können, wie es die Theorie vorsieht.

Preis-Optimierung

evor wir zum Schluss kommen, wollen wir uns kurz ansehen, wie wir die Elastizität nutzen können, um die erratische Preisstrategie des kleinen Salatverkäufers zu verbessern (meine zufällige tägliche Preisänderung). Dazu müssen wir die Kostenfunktion der Salatbar kennen. Glücklicherweise kennen wir sie: Die Salatbar hat für jeden Tag, an dem sie geöffnet ist, Fixkosten von etwa 300 €. Die Zubereitung eines einzelnen Salats kostet etwa 2,50 € pro Salat. Die Kostenfunktion lautet also:

    \[€€TotalCost = 300€ + SaladesSold * 2.50€\]

Die Mikroökonomie lehrt uns, dass Fixkosten bei der Berechnung von elastizitätsbasierten, margenoptimierten Preisen keine Rolle spielen. Ich erspare dir die Details, aber die Funktion zur Berechnung des optimierten Preises lautet letztendlich wie folgt:

    \[OptimalPrice = frac{Elasticity*CostPerSalad}{1+Elasticity}\]

Unter Anwendung der aus dem Log-Log-Modell abgeleiteten Elastizität ergibt sich ein vorgeschlagener optimaler Preis, der irgendwo zwischen 7,21€ und 7,47€ liegt. Die Schätzung liegt bei 7,34 €. Anstatt seinen Preis täglich willkürlich zu ändern, ist es am besten, sich an Preise in diesem Bereich zu halten. Der Salatverkäufer kann davon ausgehen, dass er jeden Tag etwa 125 Salate verkauft, was ihm einen täglichen Gewinn zwischen 287 € und 320 € sichert.

KPIs Lowerbound Elasticity Exp. Elasticity Upperbound Elasticity
Elasticity -1.51 -1.52 -1.54
Opt. Price 7.43€ 7.30€ 7.17€
Quantity 126 125 125
Profit 319€ 302€ 285€

Dies ist eine gewagte Aussage. Mit den tatsächlichen Beispieldaten wäre die Schlussfolgerung in Ordnung. Aber in der Praxis sind solche perfekten Regressionsergebnisse mit so wenig Unsicherheit unrealistisch. Und genau hier wird es heikel. Zur Veranschaulichung dieses Punktes habe ich den Standardfehler von fast nicht vorhanden auf 0,15 angepasst. Die Ergebnisse sollten immer noch hochsignifikant sein, aber wenn man sich die nachstehende Tabelle ansieht, wäre man über die Folgen solch kleiner Änderungen überrascht.

KPIs Lowerbound Elasticity Exp. Elasticity Upperbound Elasticity
Elasticity -1.23 -1.52 -1.82
Opt. Price 13.51€ 7.30€ 5.57€
Quantity 106 125 114
Profit 864€ 302€ 51€

Die Gewissheit, mit der wir den optimalen Preis vorgeschlagen haben, war sehr unbegründet. In diesem Beispiel ist die Spanne für die Elastizität trotz der größeren Unsicherheit immer noch relativ klein. Die sich daraus ergebende Preisspanne für den idealen Preis liegt jedoch zwischen 5,58 € und 13,73 €, was kein sehr präziser Vorschlag ist. Die Preisspanne liegt sogar über dem höchsten Preis, den der kleine Salatverkäufer jemals zu setzen wagte. Die Folgen sind gravierend: Der resultierende Gewinn schwankt fast um das Sechzehnfache zwischen dem höchsten und dem niedrigsten Preis.

Um das Offensichtliche zu verdeutlichen: Der dargestellte Ansatz zur Elastizitätsberechnung ist nur die Spitze des Eisbergs. Das bedeutet, dass wir Zeit in die Verbesserung des derzeitigen Ansatzes investieren müssen. Die nächsten Beiträge werden sich auf intervenierende Faktoren wie Werbemaßnahmen und ähnliche Produkte konzentrieren. Daniel Lüttgau Daniel Lüttgau

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